L´ESPACE
Espace vectoriel
Définition
Appelons vecteur un triplet de nombres rééls (x,y,z)
noté en colonne:
Soit V l´ensemble de tous ces vecteurs. On dit que V a une structure
d´espace vectoriel s´il est muni d´une addition et d´un produit
par un scalaire vérifiant certaines propriétés.
Opérations sur les vecteurs
Addition
Définissons l´addition de deux vecteurs par:
Exemple:
Propriétés de l´addition:
1) Assocoativité:
v1 + (v2 + v3) = (v1 + v2) + v3
2) Commutativité:
v1 + v2 = v2 + v1
3) Existence d´un élément neutre, noté 0:
4) Existence, pour tout élément v, d´un élément
symétrique, noté -v, tel que:
v + (-v) = 0
Il est facile de voir que les composantes de -v sont les symétriques de celles de v.
Produit par un scalaire
Définissons le produit d´un vecteur par un scalaire:
Proprietes:
k1 * (k2 * v) = (k1 * k2) * v
1 * v = v, et: -1 * v = -v
(k1 + k2) * v = k1 * v + k2 * v
k * (v1 + v2) = k * v1 + k * v2
Base d´un espace vectoriel
On appelle combinaison linéaire de plusieurs vecteurs
v1, v2, ... tout vecteur v de la forme:
v = k1 * v1 + k2 * v2 + ... avec k1, k2, ... rééls
Exemple:
Remarquons que l´on peut décomposer tout vecteur comme combinaison
linéaire de 3 vecteurs particuliers:
Les vecteurs (i, j, k) suffisent pour engendrer tous les autres
vecteurs, pour cela on dit qu´ils constituent une base de V
et, comme ils sont au nombre de 3, on dit
que V est de dimension 3.
(x,y,z) sont les composantes du vecteur v dans la base (i,j,k).
Ces notions, essentiellement algébriques, vont nous servir
pour définir un espace géométrique:
Géométrie
Repère
Vecteurs géométriques
Repère
Dans la ville de New-York, dont le plan est structuré en rues et
avenues orthogonales et numérotées, on peut définir une position par
3 nombres:
Une abscisse x = numéro de la rue
Une ordonnée y = numéro de l´avenue
Et une cote z = numéro de l´étage
Les 3 nombres (x,y,z) sont les coordonnées
d´un point P de la ville rapportée à un repère
cartésien orthonormé
constitué d´un axe X porté par la rue de numéro 0,
d´un axe Y porté
par l´avenue de numéro 0 et d´un axe Z dirigé vers le haut
(voir figure 2-1). On notera E l´ensemble de tous les points P.
Figure 2-1
On voit donc qu´un point P de l´espace peut être representé
par un vecteur v dont les composantes sont les coordonnées de P. Comme
cette représentation dépend du repère (O;x,y,z) on associera le
bipoint (O,P) au vecteur v. On définit sur l´ensemble E des bipoints
(O,P) les opérations d´addition et de produit par
un scalaire (voir figure 2-2)
Figure 2-2
On vérifie que ces opérations ont les
mêmes propriétés que celles définies sur les vecteurs. On peut donc
identifier formellement l´espace vectoriel V et l´espace géométrique E.
On parlera indifféremment d´un point P ou d´un bipoint (O,P) dans
un repère (O;x,y,z),
d´un vecteur v ou d´un triplet de nombre (x,y,z).
Vecteurs géométriques
Le bipoint (A,B), ou vecteur lié, est défini par:
(A,B) = (O,B) - (O,A)
Il est representé par:
Exemple (voir figure 2-3):
Figure 2-3: Vecteur lié
On appelera vecteur libre l´ensemble de tous les bipoints
ayant les mêmes composantes. Exemple (voir figure 2-4):
Figure 2-4: Vecteur libre
On peut identifier l´ensemble de tous les vecteurs libres à l´espace
vectoriel V. Lorsqu´on le désigne par ses composantes, on fait
référence à un élément algébrique
(sur lequel on peut effectuer des
calculs), lorsqu´on prend un représentant particulier (A1,B1) de
ce vecteur, on fait référence à un bipoint
géométrique (susceptible de
représentation graphique).
Calcul et représentation
L´image de synthèse
La figure 2-5 résume, de façon très simplifiée, le processus
de génération d´une image de synthèse:
À l´extrémité de la chaîne se trouve l´image physique, ou
image sensible (écran vidéo, papier d´imprimante, etc...) dont le plus
petit élément est le pixel.
En amont il y a un processeur graphique contenant
l´image numérique, mémoire
dont chaque mot correspond à un pixel et codant la
couleur du pixel (par exemple sous la forme rouge,vert,bleu).
En amont encore un ordinateur contrôle cette mémoire au
moyen d´un programme qu´il exécute.
Enfin différents périphériques permettent une interaction.
Figure 2-5
Modèle, algorithme et représentation
Le programme est la traduction, en termes compréhensibles par la machine,
d´un algorithme ou suite d´actions en vue de réaliser l´image.
Cet algorithme lui-même s´appuie sur un modèle ou abstraction
du réél.
Par exemple le modèle peut être celui de la
géometrie cartésienne.
dont les objets sont des points 3D M(x,y,z),
l´algorithme serait une projection qui, à un point 3D,
associe un point 2D P(xp,yp),
et le programme, à partir d´une modélisation d´un objet de l´espace
en termes de coordonnées (x,y,z),
écrit les pixels de coordonnées (xp,yp) dans la mémoire d´image
(voir figure 2-6)
Figure 2-6