MATRICES

Définitions
Opérations sur les matrices
Vecteurs et valeurs propres

Définitions

Matrice
Matrices et vecteurs

Matrice

         Une matrice réelle de n lignes et de m colonnes est un tableau bidimensionnel M constitué de n lignes comportant chacune m nombres réels. Chacun de ses éléments est repéré par un double indice (i,j) représentant le numéro de la ligne et le numéro de la colonne à l´intersection desquelles il se trouve:
         M = {a_i,j} pour 1 <= i < n et 1 <= j < m
         M[i][j] = a_i,j
         Dans la suite nous noterons une telle matrice:

         En programmation, par exemple en C, une matrice 4*3 se déclare ainsi:
         float M[4][3];
         On accède a l´élément d´indices (i,j) de la façon suivante:
         En lecture: x = M[0][2];
         Ou en ecriture: M[2][3] = 0.707;
       Remarquons que les indices varient entre 0 et 3=n-1 pour i, et entre 0 et 2=m-1 pour j.

Matrices et vecteurs

Rappelons qu´un vecteur d´un espace vectoriel de dimension n peut se noter comme la colonne de ses n composantes dans une base de cet espace, c´est à dire comme une matrice de n lignes et 1 colonne. Les matrices apparaissent ainsi comme une généralisation des vecteurs.

Opérations sur les matrices

       Addition
       Produit par un scalaire
       Produit de matrices
       Déterminant d´une matrice carrée
       Matrice inverse
       Produit d´un vecteur par une matrice

Addition

L´opération d´addition définie sur les vecteurs s´étend ainsi aux matrices:

         Cette définition n´a de sens que pour des matrices de mêmes dimensions.
         On démontre que cette addition a les propriétés suivantes sur l´ensemble des matrices de mêmes dimensions:
         1) Existence d´un élément neutre:

         2) Associativité:
         M1 + (M2 + M3) = (M1 + M2) + M3
         3) Commutativité:
         M1 + M2 = M2 + M1
         4) Existence, pour toute matrice M = {a_i,j}, d´une matrice dite opposée, notée -M, dont chaque élément b_i,j = -a_i,j, et qui vérifie:
         M + -M = -M + M = Z

Produit par un scalaire

Le produit d´une matrice par un scalaire se définit par:

Propriétés:
         1 * M = M
         k1 * (k2 * M) = (k1 * k2) * M
         -1 * M = -M

Produit de matrices

On définit la multiplication de la façon suivante:

Exemple:

         Cette définition n´a de sens que si le nombre de colonnes de M1 est égal au nombre de lignes de M2. le nombre de lignes du résultat est égal au nombre de lignes de la première matrice, et le nombre de colonnes du résultat est égal au nombre de colonnes de la deuxième matrice.
         On montre que ce produit a les propriétés suivantes:
         1) Existence d´un élément neutre: Si M est une matrice carrée d´ordre n, la matrice diagonale carrée U d´ordre n dont les éléments de la diagonale valent 1 (tous les autres valant 0) est unitaire pour la multiplication, c´est à dire que:
         M * U = U * M = M
         Exemple:

         2) Associativité:
                  M1 * (M2 * M3) = (M1 * M2) * M3
         3) Distributivité par rapport a l´addition:
                  M1 * (M2 + M3) = M1 * M2 + M1 * M3
         4) Non commutativité, par exemple:

Déterminant d´une matrice carrée

Le déterminant d´une matrice carrée d´ordre 2 est le scalaire:

On généralise cette définition à une matrice carrée d´ordre n. Par exemple pour une matrice 3*3, on a:

Cette méthode de calcul est le développement par rapport à la 1ère ligne (on peut définir plus généralement le développement par rapport à une ligne ou une colonne quelconque). Elle consiste à multiplier chaque élément a_1,j de la 1ère ligne par le déterminant d´ordre n-1 obtenu en supprimant la 1ère ligne et la colonne j et en alternant les signes (+ - + ...). Ainsi un déterminant d´ordre n s´obtient en calculant n déterminants d´ordre n-1, chacun d´eux s´obtient en calculant n-1 déterminants d´ordre n-2, etc..., et on en arrive finalement à des calculs de déterminants d´ordre 2.

Matrice inverse

         U étant la matrice unité (élément neutre de la multiplication), l´inverse d´une matrice M est la matrice, notée M^-1, qui, si elle existe, vérifie:
         M * M^-1 = M^-1 * M = U
         On montre que pour que M^-1 existe, il faut et il suffit:
         1) Que M soit carrée.
         2) Et que som déterminant ne soit pas nul.
         Exemple:

det(M) étant nul, M n´a pas d´inverse.

Produit d´un vecteur par une matrice

Un vecteur étant une matrice unicolonne, la définition du produit s´applique si le nombre de colonnes de la matrice est égal au nombre de lignes du vecteur.
Exemple:

Vecteurs et valeurs propres

       Définition
       Propriétés
       Exemple

Définition

         Soit une matrice carrée M d´ordre n. S´il existe un vecteur V de n lignes et un scalaire v tels que:
         M * V = k * V soit encore:
         M * V - k * U * V = 0 avec U = matrice unite, soit:
         (M - k * U) * V = 0
         V est dit vecteur propre et k est dit valeur propre de la matrice M.

Propriétés

         1) Si V est un vecteur propre de la matrice M, alors M*V lui est parallèle, puisque M * V = k * V
         2) Si V est un vecteur propre de valeur propre k de la matrice M, alors tous les vecteurs c*V sont aussi propres avec la même valeur propre.
         3) Une matrice carrée d´ordre n admet n valeurs propres k1, k2, ..., kn qui sont solutions de l´équation caractéristique:

Exemple

Soit la matrice M:

Équation carastérique:

Les vecteurs propres, obtenus en reportant les valeurs propres dans l´équation:
(M - k * U) * V = 0
sont définis à un facteur multiplicatif près.