APPLICATIONS DES MATRICES
Transformations linéaires
Définition
Soient un point P1 de l´espace (E) et une matrice M[3][3]. Le
produit de P1 par M est un point P2 de (E):
P2 = M * P1
On définit ainsi une application de (E) dans lui-même qui est
dite linéaire et qui est caractérisée par la matrice M.
Exemple:
Produit de transformations linéaires
La composition de deux transformations linéaires de matrices
respectives M1 et M2 est une transformation linéaire de matrice
M2 * M1:
AM-1-3 Exemples
Matrices de rotations
Matrices de dilatations
Dilatation selon les 3 axes et de coefficient cx, cy et cz
Remarquons que:
Si cx = cy = cz = 1: Matrice unité correspondant à la
transformation identique U (qui laisse invariant tout point):
U * P = P
Si cx = cy = cz = c: Homothétie de centre O et de coefficient c
Si cx = -1 et cy = cz = 1: Symétrie par rapport au plan (yz)
Si cx = 1, cy = -1 et cz = 1: Symétrie par rapport au plan (xz)
Si cx = cy = 1 et cz = -1: Symétrie par rapport au plan (xy)
Si cx = -1 et cy = cz = 1: Symétrie par rapport au plan (yz)
Si cx = cy = cz = -1: Symétrie par rapport à l´origine.
Compositions de transformations linéaires
Pour effectuer une rotation d´angle an autour d´un axe quelconque D:
1) On amène D en D1 dans le plan (xy) par une rotation Ry (de
matrice My) autour de Oy
2) On amène D1 sur Ox par une rotation Rz (de matrice Mz) autour de Oz
3) On effectue la rotation d´angle an autour de Ox et de matrice Mx
4) On revient à la position initiale par les rotations Rz-1
et Ry-1 de matrices respectives Mz-1 et My-1
La rotation (D,an) est la transformation linéaire
composée de Ry, Rz, Rx, Rz-1 et Ry-1 de matrice:
My-1 * Mz-1 * Mx * Mz * My
On montre que toute rotation autour d´un axe D peut donc se décomposer en le
produit de trois rotations autour des axes Ox, Oy et Oz, et que sa matrice est
le produit des matrices de ces rotations.
Résolution d´un systeme linéaire
Définition
Etant donnés une matrice M[n][m] et deux vecteurs X et A de n lignes,
la résolution de l´équation vectorielle M * X = A
Conduit à la résolution de n équations linéaires:
Résolution
Pour qu´un système de n équations linéaires à n inconnues:
M * X = A
admette une solution unique X, il faut et il suffit que le
déterminant D de la matrice M ne soit pas nul. La solution est
donnée par:
xi = Di / D
Di étant obtenu en remplaçant dans D la colonne i par le vecteur A.
Soit un système de n+1 équations à n inconnues, si le système
formé par les n premières équations admet une solution unique, celle-ci
vérifie la dernière équation si, et seulement si, le
déterminant complet (tableau des coefficients des inconnues et des
termes constants) est nul.
Changement d´axes
Problème
Soient:
Un repère R1 = (O1;x1,y1,z1) de référence.
Un deuxième repère R2 = (O2;x2,y2,z2) déduit du premier par le
produit de 3 rotations autour des axes O1x1, O1y1, O1z1 et de la
translation de vecteur O1O2.
Un point P de coordonnées x1, y1 et z1 dans (R1) a, dans le repère (R2),
des coordonnées x2, y2 et z2. Le problème dit du changement
de repère est le calcul de (x2,y2,z2) en fonction de
(x1,y1,z1) et de R2:
Si i2, j2 et k2 sont les vecteurs unitaires des axes O2x2, O2y2 et
O2z2, supposés connus par leurs composantes respectives (ix,iy,iz),
(jx,jy,jz) et (kx,ky,kz) dans le repère (R1), on a:
Unification des notations
Remarquons qu´une translation n´est pas une transformation linéaire,
en effet il n´existe pas de matrice M telle que:
Afin d´unifier les notations, c´est à dire d´exprimer un changement
de repère par une seule matrice, introduisons un outil appelé
coordonnées homogènes:
Coordonnées homogènes
Espace de dimension 1
Soit Ox un espace de dimension 1, "plongeons" le
dans l´espace à 2 dimensions obtenu en
lui ajoutant deux axes AX et AT:
AX // Ox
O a pour coordonnées (0,1) dans le repère (A;X,T)
(A;X,T) est orthonormé.
Tout point M de Ox est representé par le vecteur [x] dans le
repère Ox et par deux coordonnées X=x et 1 dans le repère (A;X,T). La
droite AM est l´ensemble des points P tels que AP = T * AM, de
coordonnées X et T dans le repère (A;X,T). X et T sont appelées coordonnées
homogènes de M, x étant son abscisse (coordonnée cartésienne).
Ainsi à tout point M de Ox, c´est à dire à tout
réél x, correspond une droite AM, et, inversement, à
toute droite passant par A, sauf AX, correspond un point M.
Lorsque le point M s´éloigne à l´infini sur Ox, la droite AM
tend vers AX, et, puisque x = X / T, T -> 0.
À la limite on dira que X et 0 sont les coordonnées homogènes du point
à l´infini sur l´axe Ox.
Ainsi les coordonnées homogènes permettent de traiter le point
à l´infini sur Ox comme un point ordinaire, simplement sa dernière
coordonnée homogène T est nulle.
Espace de dimension 2
De la même façon "plongeons" le plan 2D (O;x,y) dans l´espace
à 3 dimensions obtenu en lui ajoutant trois axes AX, AY et AT:
AX // Ox et AY // Oy
O a pour coordonnées (0,0,1) dans le repère (A;X,Y,T)
(A;X,Y,T) est orthonormé.
Tout point M du plan est representé par 2 coordonnées x et y dans le
repère (O;x,y) et par 3 coordonnées X=x, Y=y et 1 dans le repère (A;X,Y,T). La
droite AM est l´ensemble des points P tels que AP = T * AM, de
coordonnées X, Y et T dans le repère (A;X,Y,T). X, Y et T sont appelées
coordonnées
homogènes de M, x et y étant ses coordonnées cartésiennes.
Ainsi à tout point M du plan(Ox,Oy), c´est à dire à tout
couple rééls (x,y), correspond une droite AM, et, inversement, à
toute droite passant par A, sauf celles du plan (AX,AY), correspond un point M.
Lorsque le point M s´éloigne à l´infini dans la
direction (x,y), la droite AM tend vers le plan(AX,AY) et,
puisque x = X / T, T -> 0.
À la limite on dira que X et 0 sont les coordonnées homogènes du point
à l´infini sur l´axe Ox.
Lorsque x et y tendent vers l´infini, c´est à dire, puisque x = X / T
et que y = Y / T
lorsque T -> 0, le point M s´éloigne à l´infini dans la direction (x,y). À la
limite on dira que X, Y et 0 sont les coordonnées homogènes du point à
l´infini dans la direction (x,y).
Ainsi les coordonnées homogènes permettent de traiter les points
à l´infini du plan comme des points ordinaires, simplement leur dernière
coordonnée homogène T est nulle.
Espace de dimension 3
Bien que l´on ne puisse plus faire de figure, il n´est pas difficile
de plonger l´espace 3D (O;x;y;z) dans un espace à 4 dimensions (A;X,Y,Z,T):
AX // Ox, AY // Oy et AZ // Oz
O a pour coordonnées (0,0,0,1) dans le repère (A;X,Y,T)
(A;X,Y,Z,T) est orthonormé.
Tout point M de l´espace est representé par 3 coordonnées x, y et z dans le
repère (O;x,y,z) et par 4 coordonnées X=x, Y=y, Z=z et 1 dans le repère
(A;X,Y,Z,T). La
droite AM est l´ensemble des points P tels que AP = T * AM, de
coordonnées X, Y, Z et T dans le repère (A;X,Y,Z,T), X, Y, Z et T sont appelées
coordonnées
homogènes de M, x, y et z étant ses coordonnées cartésiennes.
On a: x = X / T, y = Y / T et z = Z / T
Lorsque x, y et z tendent vers l´infini, c´est à dire, puisque x = X / T
que y = Y / T et que z = Z / T
lorsque T -> 0, le point M s´éloigne à l´infini dans la direction (x,y,z). À la
limite on dira que X, Y, Z et 0 sont les coordonnées homogènes du point à
l´infini dans la direction (x,y,z).
Ainsi les coordonnées homogènes permettent de traiter les points
à l´infini de l´espace comme des points ordinaires, simplement leur dernière
coordonnée homogène T est nulle.
Une application importante est la perspective: Le "point de
fuite" est en effet la projection d´un point à l´infini, lequel, si
on le considère dans un espace 4D, a pour coordonnées (X,Y,Z,0).
Application aux translations
Une transformation linéaire de matrice M en coordonnées cartésiennes
3D sexprime, en coordonnées homogènes 4D, par:
Il est facile de voir que la matrice M d´une translation, en
coordonnées homogènes 4D, est:
Ainsi, en coordonnées homogènes 4D, les formules de changement
d´axes s´exprime par une seule matrice 4*4:
Les coordonnées de P dans le repère (R2) s´obtiennent à partir
des coordonnées dans (R1) en les multipliant par la matrice inverse
M-1
Réseaux neuronaux
Les
réseaux neuronaux
font un large usage des matrices:
Pour stocker les poids des connexions entre une couche C1 de n1 cellules et
une couche C2 de n2 cellules on définit une matrice M[n1][n2] dont
l´élément M[i][j] est le poids de la connexion entre la cellule numéro i
de la couche C1 et la cellule numéro j de la couche C2. C´est
le cas du perceptron (chapitre 4), des réseaux à couches
cachées
(chapitre 5) et des mémoires associatives (chapitre 7).