ROTATIONS PLANES ET NOMBRES COMPLEXES
Petite histoire des nombres
Dénombrement et entiers
On dira que deux ensembles ont le même cardinal, ou plus
simplement qu´ils ont le même nombre d´éléments, s´ils sont en
bijection, c´est à dire si on peut apparier leurs
éléments deux par deux (voir figure RC-1).
Figure RC-1
On parlera de l´ensemble N des nombres entiers sur lequel on définit
l´addition, qui correspond à la notion de réunion
(voir figure RC-2).
Figure RC-2
Cette opération a un certain nombre de propriétés:
Associativité: n1 + (n2 + n3) = (n1 + n2) + n3
Commutativité:
n1 + n2 = n2 + n1
Existence d´un élément neutre (qui est le cardinal de l´ensemble vide):
n + 0 = 0 + n = n
L´opération inverse de l´addition, ou soustraction, qui
correspond à la notion de complémentaire
est définie par:
n1 - n2 est le nombre n3 tel que: n1 = n2 + n3
Par exemple 2 = 5 - 3 car 5 = 2 + 3
Mais existe-t-il n tel que n = 3 - 5, pour cela il faudrait que
3 = n + 5, ce qui est impossible puisque 3 < 5.
On a donc décidé d´agrandir N en lui ajoutant de tels nombres, dits
entiers négatifs, afin de rendre la soustraction possible:
Soustraction et nombres relatifs
Soit N = {0, 1, 2, ...} l´ensemble des nombres entiers, on notera
l´ensemble Z des nombres relatifs:
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Dans lequel la soustraction est toujours possible.
On définit la multiplication comme le cardinal de
l´ensemble de tous les couples formés avec les éléments de deux
ensembles (voir figure RC-3):
Figure RC-3
Par exemple 6 = 2 * 3
La division, ou opération inverse de la
multiplication est définie par:
n / d est l´entier relatif q tel que: n = q * d
Par exemple 3 = 6 / 2 car 6 = 3 * 2
Mais q = 2 / 6 n´a pas de sens car il faudrait que 2 = q * 6, ce qui
est impossible puisque 2 < 6.
On a donc décidé d´agrandir Z en lui ajoutant de tels nombres, dits
rationnels, afin de rendre la division possible.
Division et nombres rationnels
On notera Q l´ensemble de toutes les fractions, ou nombres
rationnels. Remarquons que, par exemple, 2/4 ou 1/2 ou -3/-6
représentent le même nombre rationnel.
Le théorème de Pythagore appliqué à
un triangle rectangle de côté 1 prouve que
l´hypoténuse de ce triangle a pour mesure un nombre d tel
que: d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2.
Or on peut montrer qu´il n´existe pas
de fraction n/d dont le carré vaille 2. Donc les rationnels ne suffisent
pas à mesurer toutes les longueurs.
On a donc décidé d´agrandir Q en lui ajoutant de tels nombres, dits
irrationnels, afin de rendre possible la resolution d´equations
du type: x2 = 2:
Mesure et nombres rééls
On notera R l´ensemble l´ensemble des nombres réels, réunion
des nombres rationnels et des nombres irrationnels:
R = { ...-3, ..., 0, ..., 7, ..., 19/3, ..., PI, ..., e, ..., sqrt(2), ...}
On sait résoudre dans R l´equation x2 = 2 dont la solution
est l´irrationnel x = sqrt(2). Mais l´équation x2 = -1 n´a
pas de solution puisque x2 >= 0 quelque soit x.
On a donc décidé d´agrandir R en lui ajoutant des nombres,
dits nombres imaginaires, afin de pouvoir résoudre de telles
équations.
L´ensemble des nombres complexes
L´espace vectoriel des complexes
L´ensemble C des nombres complexes est simplement défini
comme l´ensemble des couples de nombres réels muni d´une addition et
d´un produit par un scalaire qui en font un
espace vectoriel de dimension 2
dont l´interprétation géométrique
est le plan (voir figure RC-4).
Si on note 1 et i la base canonique de C, tout nombre complexe
z peut s´écrire:
z = a + i * b
a est la partie rééle et b est la partie imaginaire de z.
Le point M(a,b) est l´image du complexe z, et z est
l´affixe de M.
Figure RC-4: L´espace vectoriel à 2 dimensions des complexes.
Addition de complexes
L´addition de 2 complexes prolonge l´addition de 2 réels:
z1 = a1 + i * b1
z2 = a2 + i * b2
z1 + z2 = (a1 + a2) + i * (b1 + b2)
Cette opération est associative, commutative et possè un élément
neutre: (0, 0).
Tout complexe z = a + i * b possè un symétrique: -z = -a - i * b
Produit de complexes
On définit le produit de deux complexes par:
Cette opération a les propriétés suivantes:
Associativité: z1 * (z2 * z3) = (z1 * z2) * z3
Commutativité: z1 * z2 = z2 * z1
Existence d´un élément neutre:
C apparaît comme un prolongement de R puisque l´ensemble
des complexes de deuxième composante nulle est isomorphe a R:
Remarquons que l´élément i a pour carré -1
ce qui justifie l´introduction des nombres complexes puisque i est
solution de l´équation i2 = -1, impossible dans R.
Conjugué d´un complexe
Par definition le conjugue du nombre complexe z=a + i*b est:
Le produit d´un complexe par son conjugué est un réel
positif ou nul dont la racine carrée est appelée le module de z
Inverse d´un complexe
Si le module d´un complexe z n´est pas nul, z admet un inverse:
Représentation trigonométrique
Soit M(a,b) l´image du nombre complexe z=a+i*b. (a,b)
sont les coordonnées cartésiennes de M. Soit r = distance(M,O)
et an = angle (Ox,OM), (r,an) sont les coordonnées polaires de M.
Le complexe z peut aussi se noter z=[r,an], r est le module de z
et an est l´argument de z. On a:
a = r * cos(an) et b = r * sin(an)
On peut encore l´interpréter comme la rotation plane de centre O et
d´angle an transformant 1 en z.
Soient z1=[1,an1] et z2=[1,an2] deux complexes de modules 1, on montre
que si z3=z1*z2 on a (voir figure RC-5):
z3=[1,an3] avec an3=an1+an2
Figure RC-5
La composée des deux rotations planes d´angles an1 et an2 autour de O
est la rotation d´angle an1+an2, z3 s´interpréte donc comme la composée
de ces deux rotations. Ainsi il y a isomorphisme entre l´ensemble des
complexes de module 1 muni du produit et l´ensemble des rotations planes.
L´outil mathématique de traitement des rotations planes est donc
l´ensemble des nombres complexes.